火星と地球が近づくことによって大災害が起きたりしますか?

結論から申し上げましょう。そのようなことはありません。

火星と地球との引力は、例えば月と地球の間の引力、あるいは太陽と地球の間の引力(それぞれ、潮汐と呼ばれる現象に影響を及ぼしています)に比べてもはるかに小さいものです。
また、そういった引力が地球に及ぼす影響については、よくわかっていないが限定的であるとされています。仮に影響があったとしても、火星が及ぼす引力は非常に小さいので、ほぼ問題がないレベルです。

従って、火星大接近によって世界に大災害が起きる、といったことはありません。逆に、世界や日本に起きている大災害が火星大接近によるものということもありません。

こういった言説は、例えば惑星直列(太陽系の惑星がほぼ一方向に並ぶ現象)などのときに繰り返し流れますが、まず「デマ」といって差し支えないレベルです。誤った情報に惑わされないように注意しましょう。